介紹

足球是世界上最受歡迎的運(yùn)動(dòng)，每四年舉辦一次的國(guó)際足聯(lián)俱樂(lè)部世界杯吸引了全世界無(wú)數(shù)的球迷足球比賽中最激動(dòng)人心的時(shí)刻是射門(mén)和得分，這也是一個(gè)球隊(duì)成功的關(guān)鍵一次射門(mén)能否得分取決于很多因素，不僅包括球員自身的技術(shù)，還包括射門(mén)位置

圖1:波多爾斯基在波蘭中超的中場(chǎng)射門(mén)。

射門(mén)距離球門(mén)越遠(yuǎn)，進(jìn)球的可能性越小所以一個(gè)超長(zhǎng)的吊射經(jīng)常被人們津津樂(lè)道在2022年波蘭足球聯(lián)賽扎布爾格與波甘的比賽中，足球老將波多爾在中場(chǎng)線(xiàn)附近遠(yuǎn)射得分著名足球明星貝克漢姆和魯尼也是通過(guò)中場(chǎng)吊射得分的

圖2:麥孔在世界杯小組賽中幾乎以零度角進(jìn)球。

此外，射門(mén)位置的進(jìn)球角度也很大程度上影響得分難度，球門(mén)朝向球門(mén)方向的概率大于兩側(cè)雖然從小角度看很難進(jìn)球，但在足球比賽中也出現(xiàn)過(guò)比如2010年巴西世界杯，小組賽，麥孔在底線(xiàn)附近以接近零度的視角攻入一球

圖3:西班牙超級(jí)杯半決賽，克羅斯踢進(jìn)了一個(gè)角球。

即使是球門(mén)角度為零的角球也能直接進(jìn)球比如2019/20賽季西班牙超級(jí)杯半決賽皇馬對(duì)瓦倫西亞的比賽，克羅斯角球直接進(jìn)球著名的足球明星貝克漢姆和亨利也踢過(guò)角球

圖4:不同目標(biāo)距離和不同目標(biāo)角度的位置。

目標(biāo)距離相同的位置可能有不同的目標(biāo)角度，目標(biāo)角度相同的位置也可能有不同的目標(biāo)距離不同的射門(mén)位置對(duì)進(jìn)球的影響有多大或者在特定位置射門(mén)，進(jìn)球的期望概率是多少本文將從理論和統(tǒng)計(jì)的角度建立模型來(lái)回答這個(gè)問(wèn)題

模型理論模型

= 7.32米，拍攝位置 " >

。

圖5:射門(mén)位置的目標(biāo)距離和目標(biāo)視角

從射門(mén)位置到球門(mén)的距離可以通過(guò)射門(mén)位置的坐標(biāo)輕松確定 " >

也可以通過(guò)拍攝位置的坐標(biāo)來(lái)確定 " >

根據(jù)上述公式，可以畫(huà)出圖6所示的刻痕電位函數(shù)及其等勢(shì)線(xiàn)得分勢(shì)函數(shù)反映了不同位置得分的相對(duì)難度

圖6:得分電位函數(shù)和等勢(shì)線(xiàn)

在同一個(gè)等電位線(xiàn)上拍攝同樣困難，但是電位越大越容易拍攝比如圖6，綠線(xiàn)上各個(gè)位置的射擊難度都差不多，綠色等勢(shì)線(xiàn)上各個(gè)位置的射擊難度都比紅色等勢(shì)線(xiàn)上的高

統(tǒng)計(jì)模式

坐標(biāo)表示從事件點(diǎn)到現(xiàn)場(chǎng)右邊界的距離。

圖7:每個(gè)位置的拍攝數(shù)量

結(jié)果如圖8所示。

圖8:每個(gè)位置的進(jìn)球數(shù)

顯然，由于數(shù)據(jù)有限，本文得到的得分頻率圖并不是光滑連續(xù)的

圖9:每個(gè)職位的目標(biāo)頻率

但從空間得分頻率圖中不難發(fā)現(xiàn)，越靠近目標(biāo)，越容易在面對(duì)目標(biāo)時(shí)得分注意，在圖9中靠近邊界的少數(shù)網(wǎng)格中，有一些頻率很高的異常網(wǎng)格實(shí)際上，這是因?yàn)檫@些網(wǎng)格中的鏡頭數(shù)量非常少，沒(méi)有統(tǒng)計(jì)學(xué)意義例如，如果一個(gè)網(wǎng)格中只有一個(gè)鏡頭，并且這個(gè)鏡頭被計(jì)分，則該網(wǎng)格的計(jì)分頻率將為1

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，得分的概率也從幾乎為0增加到接近1。

圖10:目標(biāo)角度和目標(biāo)頻率之間的邏輯回歸

相應(yīng)的擬合結(jié)果如圖11所示從圖中不難看出，伴隨著進(jìn)球距離的增加，得分的概率逐漸趨于零當(dāng)距離球門(mén)超過(guò)20米時(shí)，得分的難度更大

圖11:目標(biāo)距離和目標(biāo)頻率之間的邏輯回歸

= 1等勢(shì)線(xiàn)幾乎與可是，這兩個(gè)數(shù)字之間存在一些差異在圖6中，等勢(shì)線(xiàn)穿過(guò)兩個(gè)球門(mén)柱，但在圖12中，概率較小的等勢(shì)線(xiàn)與底線(xiàn)的交點(diǎn)不在球門(mén)柱處

目標(biāo)概率

相應(yīng)的空間概率分布如圖13所示從圖中不難看出，最優(yōu)模型的等概率曲線(xiàn)都是通過(guò)門(mén)柱的這與角球直接得分并不矛盾，因?yàn)楸疚慕y(tǒng)計(jì)的射門(mén)都發(fā)生在正常進(jìn)攻過(guò)程中，不包括角球事實(shí)上，在動(dòng)態(tài)攻防的過(guò)程中，直接在底線(xiàn)附近投籃是極其困難的

目標(biāo)概率

從等概率曲線(xiàn)可以看出，拿球板在綠線(xiàn)內(nèi)投籃，得分的概率可以超過(guò)7%把球盤(pán)帶到紅線(xiàn)內(nèi)再射門(mén)，得分的概率可以超過(guò)15%

結(jié)論

不同的射門(mén)位置有不同的進(jìn)球距離和視角，射門(mén)位置很大程度上影響能否進(jìn)球基于射門(mén)位置的目標(biāo)距離和目標(biāo)視角，從理論和統(tǒng)計(jì)角度建立模型，研究不同位置射門(mén)的期望概率在理論模型中，本文構(gòu)造了得分勢(shì)函數(shù)得分勢(shì)函數(shù)可以給出不同位置得分的相對(duì)難度為了得到不同位置進(jìn)球的概率，對(duì)足球比賽數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析，應(yīng)用logistic回歸模型擬合進(jìn)球概率對(duì)進(jìn)球角度，進(jìn)球距離等因素的依賴(lài)關(guān)系，最后給出空間概率圖和等概率曲線(xiàn)

本文的結(jié)果給出了球場(chǎng)每個(gè)位置投籃得分的期望概率，可以告訴球員應(yīng)該在哪里多投籃總體來(lái)說(shuō)，符合我們的直覺(jué):射門(mén)位置越靠近球門(mén)，越朝向球門(mén)，射門(mén)得分的幾率越大當(dāng)然這個(gè)概率并不適用于所有球員，但是得分概率圖可以讓所有球員知道不同位置進(jìn)球的難度，讓球員在權(quán)衡自身能力和對(duì)方防守的基礎(chǔ)上做出合理的決定此外，得分概率圖的梯度方向也為球員指明了進(jìn)攻方向比如圖13，在綠線(xiàn)附近進(jìn)球的幾率是7%，而在梯度方向跑幾步到達(dá)紅線(xiàn)再射門(mén)可以讓進(jìn)球幾率翻倍

參考數(shù)據(jù)

塞薩爾·莫拉萊斯足球中一個(gè)基于數(shù)學(xué)的新禁區(qū):鏟球假摔體育科學(xué)雜志，34:2233–2237，2016

大衛(wèi)·桑普特美麗游戲?qū)I(yè)版中的數(shù)學(xué)冒險(xiǎn)布盧姆斯伯里出版社，2017年

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